Segundo problema de optimizaciòn

Primer problema de optimizacion

Definiciòn optimisaciòn:

En matematicas la optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo:

$\begin{matrix} \max(\min) f(x) \\ x \in \Omega \subseteq \mathbb{R}^n \end{matrix}$

Donde

x = (x 1,..., x n)

es un vector y representa variables de decisión,

f (x)

es llamada función objetivo y representa o mide la calidad de las decisiones (usualmente números enteros o reales) y

Ω

es el conjunto de puntos o decisiones factibles o restricciones del problema.

Algunas veces es posible expresar el conjunto de restricciones

Ω

como solución de un sistema de igualdades o desigualdades.

$\begin{matrix} g(x_1,...,x_n) & \le & 0 \\ h(x_1,...,x_n) & = & 0 \end{matrix}$

Un problema de optimización trata entonces de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar un criterio determinado (costos, tiempo, riesgo, error, etc). Las restricciones significan que no cualquier decisión es posible.

1) Una hoja de papel debe tener 18 cm²de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.

SOLUCIÓN.

DERIVADA #1

La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:

1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.

2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.

3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b con a<c<b tales que

1.- f es continua en el intervalo abierto (a,b) (de acuerdo con el teorema de Rolle)

2.- f es derivable en el intervalo abierto (a,b), excepto quizá en c;

3.- f´(x) es positiva para todo x<c en el intervalo y negativa para todo x>c en el intervalo.

Entonces f tiene un máximo local en c.

Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.

De manera intuitiva podemos observar que para determinar si existe un máximo o un mínimo basta graficar alrededor de los puntos donde se ha presentado un cambio de signo Es también importante tener en consideración que el termino alrededor del cambio de signo de la derivada de la función es muy relativo y es este punto donde tenemos que tener la máxima consideración.

Un punto mas a considerar es el tener en cuenta que solo es necesario considerar no solo el cambio de signos para la derivada Por ejemplo, para el caso de la función:

la función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local.

Derivada #2

Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se basa en que en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva.
Este procedimiento consiste en:

calcular la primera y segunda derivadas

igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada.
Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un máximo.
Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un máximo o mínimo.

sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo.

Criterios de la segunda derivada para máximos y mínimos relativos

Sea f una función con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo abierto conteniendo al número a. Si f´´ esta definida entonces podemos considerar los siguiente aspectos:

a).- Si f´(a)=0 y f´´(a)<0 entonces se dice que f tiene un máximo local en a.

b).- Si f´(a)=0 y f´(a)>0 entonces se dice que f tiene un mínimo local en a.

Para determinar los máximos y los mínimos
de una función

En el siguiente teorema se establece cómo determinar los valores máximos y los valores mínimos de una función, al estudiar los intervalos en que crece o decrece la función.

Teorema 4

Sea f una función continua en un intervalo cerrado , que es derivable en todo punto del intervalo abierto .

Sea c en tal que o no existe.

a.: Si es positiva para todo , y negativa para todo , entonces es un valor máximo relativo de .
b.: Si es negativa para toda , y positiva para toda , entonces es un mínimo relativo de .
c.: Si es positiva para todo y también lo es para todo ; o si es negativa para todo y a su vez para todo , entonces no es un valor máximo relativo ni un valor mínimo relativo de .

Las situaciones enunciadas en a., b. y c. pueden representarse gráficamente como sigue:

Máximo relativo en

Mínimo relativo en

En no hay ni máximo ni mínimo relativo

Puntos de inflexión y número de inflexión.

Sea f una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales que b<a<c y además:

a) f es una función continua en el intervalo abierto (b,c)

b) f es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c), o viceversa.

Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión.

Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada f´ es creciente en ese intervalo.

bibliografia: - http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node4.html

- http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/criterio_de_la_primera_derivada.htm

Derivadas: primeros teoremas de aplicacion

DERIVADAS: PRIMEROS TEOREMAS

Derivada de una función constante

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),

f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Derivadas de las funciones exponenciales a^x y e^x

Sea la función y = a^x, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en un punto x es:

y se toman logaritmos neperianos:

Derivada de una raiz

La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.

Derivada de la raíz cuadrada

La derivada de la raíz cuadrada de una función es igual a la derivada del radicando partida por el duplo de la raíz.

Derivada de un producto de funciones

Sean f y g dos funciones definidas y derivables en un mismo punto x.

Si se suma y se resta en el numerador f(x) · g(x + h), la fracción anterior no varía,

Sacando g(x + h) factor común en los dos primeros sumandos, y f(x) en los otros dos,

Regla de la cadena

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

entonces la función compuesta

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

Funciones implícitas

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

x'=1.

En general y'≠1.

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.