Derivadas: primeros teoremas de aplicacion

DERIVADAS: PRIMEROS TEOREMAS

Derivada de una función constante

 

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),

 

                            f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

 

                      

 

 

 

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

 

                                      

Derivadas de las funciones exponenciales a^x y e^x

 

Sea la función y = a^x, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en un punto x es:

 

                                                y se toman logaritmos neperianos:

 

                         

Derivada de una raiz

La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.

Derivada de la raíz cuadrada

La derivada de la raíz cuadrada de una función es igual a la derivada del radicando partida por el duplo de la raíz.

Derivada de un producto de funciones

 

Sean f y g dos funciones definidas y derivables en un mismo punto x.

 

            

 Si se suma y se resta en el numerador f(x) · g(x + h), la fracción anterior no varía,

 

          

 Sacando g(x + h) factor común en los dos primeros sumandos, y f(x) en los otros dos,

 

                 

                           

 

Regla de  la cadena

 

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

 

                                            

 

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

 

                                         

 

entonces la función compuesta

 

                                     

 

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

 

                               

Funciones implícitas

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

x'=1.

En general y'≠1.

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:

 

 

Bibliografia: http://www.sectormatematica.cl/contenidos/cadena.htm